Examen 9

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,25 puntos)

   Una pieza de un juego de construcción es un cubo de 3 cm de arista al que se le ha quitado, en una esquina, un cubito de 1 cm de arista (queda un hueco en esa esquina).

   a) Cuenta sus caras, sus vértices y sus aristas. (Las tres caras que tocan el hueco siguen siendo una cara cada una, con forma de L.)

   b) Comprueba si cumple la fórmula de Euler.

   c) ¿Es un poliedro convexo? ¿Es regular? Justifícalo.

2. 2. (1,25 puntos)

   Un poliedro convexo tiene 2 caras octogonales y el resto son triangulares. En cada vértice concurren 4 caras y tiene 16 vértices.

   a) ¿Cuántas aristas tiene? (Piensa cuántas veces se cuenta cada arista al recorrer los vértices.)

   b) Llama $t$ al número de caras triangulares. Plantea una ecuación con la suma de los lados de todas las caras y halla $t$.

   c) Comprueba la fórmula de Euler.

3. 3. (1,25 puntos)

   Una lámpara de techo tiene forma de icosaedro regular: 20 caras triangulares, 12 vértices y 30 aristas; en cada vértice concurren 5 caras.

   a) Sus ejes de giro pasan por dos vértices opuestos, por los centros de dos caras opuestas o por los puntos medios de dos aristas opuestas. ¿Cuántos ejes hay de cada tipo?

   b) ¿De qué orden es cada tipo de eje? Razónalo.

   c) ¿Cuál es el menor ángulo de giro de cada tipo de eje?

4. 4. (1,75 puntos)

   En una fábrica de pienso, la tolva por la que cae el grano es un tronco de pirámide cuadrangular regular, sin bases, colocado con la boca grande arriba. La boca mide 2 m de lado, la salida de abajo 0,4 m y la altura es de 0,6 m.

   a) Calcula la apotema del tronco.

   b) ¿Cuántos metros cuadrados de chapa tiene la tolva?

   c) La chapa cuesta 15 € el metro cuadrado. ¿Cuánto cuesta la chapa de la tolva?

5. 5. (1,75 puntos)

   En una bodega de Navalcarnero hay una cuba de madera con forma de tronco de cono: la boca mide 1,5 m de diámetro, el fondo 1 m y la altura es de 0,8 m.

   a) Si prolongamos sus paredes hasta formar un cono completo, ¿qué altura $H$ tendría ese cono? Usa la semejanza de triángulos.

   b) Calcula el volumen de la cuba como diferencia de dos conos. Da el resultado exacto (en fracción de $\pi$) y redondeado a milésimas de $\text{m}^3$.

   c) ¿Cuántos litros de vino caben? Redondea a litros.

6. 6. (1,5 puntos)

   Una lata cilíndrica de conservas cabe justa en una caja cúbica de 9 cm de arista: toca el fondo, la tapa y las cuatro paredes.

   a) ¿Qué radio y qué altura tiene la lata?

   b) Calcula el volumen de la lata (exacto y redondeado a centésimas) y el espacio que queda libre en la caja.

   c) ¿Qué porcentaje de la caja ocupa la lata? Redondea a centésimas.

7. 7. (1,25 puntos)

   a) Un queso de bola grande, de 25 cm de diámetro, se corta con dos cortes rectos paralelos, del mismo lado del centro: uno a 3,5 cm del centro y otro a 10 cm. ¿Qué radio tiene la cara de queso que deja cada corte? ¿Alguno de los cortes es un círculo máximo?

   b) Un partido de baloncesto en Los Ángeles (UTC−8 en invierno) empieza a las 19:30, hora local. ¿A qué hora (y qué día) se puede ver en directo en Madrid (UTC+1)?