Examen 8

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,25 puntos)

   a) Un prisma tiene 30 aristas. ¿Qué polígono es su base? ¿Cuántas caras y cuántos vértices tiene?

   b) Explica, con la suma de los ángulos que concurren en un vértice, por qué no puede existir un poliedro regular cuyas caras sean octógonos regulares.

   c) ¿Qué poliedro regular tiene 12 vértices? ¿Cuál es su poliedro dual?

2. 2. (1,25 puntos)

   Una lámpara de diseño tiene forma de icosidodecaedro: 20 caras triangulares y 12 pentagonales, todas regulares, y en cada vértice concurren 4 caras.

   a) ¿Cuántas aristas tiene? ¿Y vértices?

   b) Comprueba la fórmula de Euler.

   c) ¿Es un poliedro regular? ¿Por qué?

3. 3. (1,25 puntos)

   Las columnas de un edificio tienen forma de prisma cuadrangular regular de 40 cm de lado y 3 m de altura.

   a) ¿Cuántos planos de simetría tiene una columna? ¿Cuántos tendría si fuera un cubo?

   b) Describe sus ejes de giro y su orden.

   c) ¿Qué ángulos de giro alrededor del eje vertical (menores que una vuelta) dejan la columna igual?

4. 4. (1,75 puntos)

   Un joyero tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. La base de abajo mide 15 cm de lado, la de arriba 10 cm y la altura es de 6 cm. Se forra por fuera entero (las cuatro caras laterales y las dos bases).

   a) Calcula la apotema del tronco.

   b) ¿Qué superficie hay que forrar?

   c) La tela cuesta 25 € el metro cuadrado. ¿Cuánto cuesta la tela para forrar 40 joyeros (sin contar recortes)?

5. 5. (1,75 puntos)

   Un taller de velas tiene una vela con forma de cono de 30 cm de altura y 10 cm de radio de la base. La corta con un plano paralelo a la base, a 12 cm de la base, y se queda con la parte de abajo.

   a) ¿Qué radio tiene la sección del corte? Usa la semejanza de triángulos.

   b) Calcula el volumen de la parte de abajo (el tronco). Da el resultado exacto y redondeado a centésimas.

   c) ¿Qué fracción del volumen de la vela queda en la parte de arriba (el cono pequeño)?

6. 6. (1,5 puntos)

   Un recuerdo de Madrid es una bola de cristal maciza de 7 cm de diámetro que se vende dentro de una urna cilíndrica de metacrilato en la que encaja justa: toca el fondo, la tapa y la pared. Recuerda: $V_{\text{esfera}} = \dfrac{4}{3}\pi r^3$.

   a) ¿Qué medidas tiene la urna por dentro?

   b) Calcula el volumen de la urna y el de la bola. Redondea a centésimas.

   c) ¿Qué volumen de aire queda en la urna? Comprueba que la bola ocupa $\dfrac{2}{3}$ de la urna.

7. 7. (1,25 puntos)

   a) Una boya esférica de 1,2 m de diámetro flota en el mar con más de la mitad fuera del agua. La línea de flotación es una circunferencia de 0,96 m de diámetro. ¿A qué distancia del centro de la boya está el plano del agua? ¿Qué altura de boya queda sumergida y cuánta sobresale?

   b) Lisboa está aproximadamente en $9^\circ\,08'$ O y Atenas en $23^\circ\,43'$ E. ¿Cuál es la diferencia de hora solar entre las dos ciudades? En invierno, Portugal usa UTC+0 y Grecia UTC+2: ¿cuál es la diferencia de hora oficial?