Examen 7

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1. 1. (1,25 puntos)

   a) Indica cuáles de estos cuerpos son poliedros regulares y justifícalo:

   1. Un cubo de Rubik (sin tener en cuenta las ranuras).
   2. Una caja con forma de ortoedro de base cuadrada y más alta que ancha.
   3. Una pirámide de base cuadrada cuyas caras laterales son triángulos equiláteros.
   4. Una pirámide cuyas 4 caras son triángulos equiláteros iguales.

   b) ¿Cuántos triángulos equiláteros pueden concurrir, como máximo, en un vértice de un poliedro? Razónalo.

   c) De los poliedros regulares con caras triangulares, ¿cuál tiene 6 vértices?

2. 2. (1,25 puntos)

   Un poliedro convexo tiene todas sus caras pentagonales y en cada vértice concurren 3 caras.

   a) Expresa el número de caras, $C$, y el de vértices, $V$, en función del número de aristas, $A$.

   b) Sustituye en la fórmula de Euler y halla $A$, $C$ y $V$.

   c) ¿Qué poliedro es?

3. 3. (1,25 puntos)

   Un envase de zumo tiene forma de pirámide triangular regular: la base es un triángulo equilátero y las tres aristas laterales son iguales, pero más largas que los lados de la base.

   a) ¿Cuántos planos de simetría tiene? Descríbelos.

   b) ¿Qué ejes de giro tiene y de qué orden?

   c) Si las aristas laterales midieran lo mismo que los lados de la base, sería un tetraedro regular. ¿Cuántos planos de simetría y ejes de giro de cada orden tendría entonces?

4. 4. (1,75 puntos)

   En una plaza de Alcalá de Henares hay una fuente con una base de piedra en forma de tronco de cono: el radio de abajo mide 2 m, el de arriba 1,5 m y la altura es de 1,2 m. Se va a impermeabilizar con pintura la superficie lateral y la base de arriba.

   a) Calcula la generatriz del tronco.

   b) ¿Cuántos metros cuadrados hay que pintar? Da el resultado exacto y redondeado a centésimas.

   c) Si pintar cuesta 8 € por metro cuadrado, ¿cuánto cuesta? Redondea a céntimos.

5. 5. (1,75 puntos)

   Un molde para bizcocho tiene forma de tronco de cono: la boca mide 24 cm de diámetro, el fondo 20 cm y la altura es de 9 cm.

   a) Calcula la altura del cono completo del que procede el molde.

   b) Calcula la capacidad del molde. Da el resultado exacto y redondeado a centésimas de $\text{cm}^3$.

   c) Si se echa 1,5 L de masa, ¿qué porcentaje del molde se llena? Redondea a décimas.

6. 6. (1,5 puntos)

   De un tronco de árbol con forma de cilindro de 30 cm de diámetro y 2 m de largo se quiere sacar una viga de sección cuadrada lo más grande posible (los cuatro vértices del cuadrado tocan la circunferencia).

   a) ¿Cuánto mide el lado del cuadrado? Da el resultado exacto y redondeado a centésimas.

   b) Calcula el volumen de la viga en $\text{cm}^3$ y en $\text{m}^3$.

   c) ¿Qué porcentaje de la madera del tronco se aprovecha? Redondea a centésimas.

7. 7. (1,25 puntos)

   a) Al cortar una esfera con un plano situado a 12 cm de su centro, la sección es un círculo de $256\pi\ \text{cm}^2$ de área. Calcula el radio de la sección, el radio de la esfera y el área de sus círculos máximos (exacta y redondeada a centésimas).

   b) Un avión vuela hacia el este siguiendo el paralelo $30^\circ$ N, desde un punto de longitud $20^\circ$ O hasta otro de longitud $40^\circ$ E. ¿Cambia su latitud durante el vuelo? ¿Cuántos grados de longitud recorre? ¿Qué diferencia de hora solar hay entre el punto de salida y el de llegada? ¿En cuál va adelantada?