Examen 6

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1. 1. (1,25 puntos)

   a) Una pirámide tiene 16 aristas. ¿Qué polígono es su base? ¿Cuántas caras y cuántos vértices tiene?

   b) ¿Puede existir un poliedro regular en el que concurran 7 triángulos equiláteros en cada vértice? Razónalo.

   c) Un poliedro regular tiene 8 caras. ¿Cuál es? ¿Qué poliedro es su dual y cuántos vértices tiene ese dual?

2. 2. (1,25 puntos)

   Una pieza de madera de un juego de mesa tiene forma de prisma pentagonal. Para que no se astille, se lijan sus 10 esquinas con cortes planos pequeños (sin llegar a los puntos medios de las aristas). En cada vértice del prisma concurren 3 caras.

   a) ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene el prisma pentagonal?

   b) Calcula las caras, los vértices y las aristas del cuerpo lijado con las fórmulas del truncamiento: $C' = C + V$, $V' = k \cdot V$, $A' = A + k \cdot V$.

   c) Comprueba la fórmula de Euler en el cuerpo lijado. ¿Qué polígonos aparecen en los cortes?

3. 3. (1,25 puntos)

   El tejado de un quiosco de música tiene forma de pirámide pentagonal regular.

   a) ¿Cuántos planos de simetría tiene? ¿Por dónde pasan?

   b) ¿Qué ejes de giro tiene? ¿De qué orden? ¿Qué ángulos de giro (menores que una vuelta) lo dejan igual?

   c) ¿Por qué no tiene ningún plano de simetría horizontal?

4. 4. (1,75 puntos)

   Un puf tiene forma de tronco de cono. Los radios de sus bases miden 25 cm y 18 cm, y su generatriz, 25 cm. Se forra entero de tela (el lateral y las dos bases).

   a) ¿Qué altura tiene el puf?

   b) ¿Cuánta tela hace falta? Da el resultado exacto y redondeado a centésimas.

   c) Si se compra un 10 % más de tela por los recortes y la tela cuesta 12 € el metro cuadrado, ¿cuánto se gasta en tela? Redondea a céntimos.

5. 5. (1,75 puntos)

   En una finca de la sierra de Madrid se quiere construir un depósito de riego con forma de cono invertido (el vértice abajo) de 1,8 m de altura que contenga 1200 L.

   a) ¿Qué radio debe tener la boca del depósito? Redondea a centímetros.

   b) Si el depósito fuera cilíndrico, con el mismo radio, ¿qué altura necesitaría para contener los mismos 1200 L?

   c) Explica por qué el resultado de b) es justo la tercera parte de 1,8 m.

6. 6. (1,5 puntos)

   Una mancuerna de gimnasio está formada por dos discos cilíndricos iguales, de 6 cm de radio y 3 cm de grosor, unidos por una barra cilíndrica de 1,5 cm de radio y 12 cm de largo (la barra va de un disco al otro).

   a) Calcula el volumen de los dos discos. Da el resultado exacto.

   b) Calcula el volumen de la barra y el volumen total de la mancuerna. Da los resultados exactos y el total redondeado a centésimas.

   c) Si es de hierro, que pesa unos 7,9 g por centímetro cúbico, ¿cuánto pesa la mancuerna? Redondea a centésimas de kilogramo.

7. 7. (1,25 puntos)

   a) Un globo terráqueo mide 40 cm de diámetro. Sobre él se ha pintado un paralelo cuyo plano está a 12 cm del plano del ecuador. ¿Qué radio tiene ese paralelo? ¿Cuánto mide? Redondea a centésimas.

   b) Moscú está aproximadamente en $37^\circ\,37'$ E y Ciudad del Cabo en $18^\circ\,25'$ E. ¿Cuál es la diferencia de hora solar entre las dos ciudades? Cuando en Ciudad del Cabo es mediodía solar (12:00), ¿qué hora solar es en Moscú?