Examen 4

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,25 puntos)

   a) Un prisma tiene 18 vértices. ¿Qué polígono es su base? ¿Cuántas caras y cuántas aristas tiene?

   b) Un poliedro regular tiene caras pentagonales. ¿Cuál es? ¿Cuántas caras concurren en cada vértice? Calcula la suma de sus ángulos en un vértice.

   c) ¿Qué parejas de poliedros regulares tienen el mismo número de aristas? ¿Qué relación hay entre los poliedros de cada pareja?

2. 2. (1,25 puntos)

   Un poliedro convexo tiene todas sus caras triangulares y en cada vértice concurren 4 caras.

   a) Plantea un sistema con la fórmula de Euler y halla $C$, $V$ y $A$.

   b) ¿Qué poliedro es? ¿Es regular?

   c) Si en otro poliedro convexo de caras triangulares concurrieran 5 caras en cada vértice, ¿cuántas aristas tendría? (Plantea igual que antes.)

3. 3. (1,25 puntos)

   Una pieza de un puzle de madera tiene forma de prisma recto cuya base es un trapecio isósceles (no rectángulo).

   a) ¿Cuántos planos de simetría tiene? Descríbelos.

   b) ¿Tiene algún eje de giro? ¿De qué orden?

   c) Se fabrica otra pieza con forma de pirámide con esa misma base y la cúspide justo encima de un punto del eje de simetría del trapecio. ¿Cuántos planos de simetría tiene?

4. 4. (1,75 puntos)

   Un taburete de madera maciza tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. La base de abajo mide 40 cm de lado, la de arriba 24 cm y la altura es de 15 cm. Se barniza todo menos la base que apoya en el suelo.

   a) Calcula la apotema del tronco (altura de cada trapecio).

   b) ¿Cuántos centímetros cuadrados hay que barnizar?

   c) Un bote de barniz cubre $2\ \text{m}^2$. ¿Cuántos taburetes se pueden barnizar con un bote?

5. 5. (1,75 puntos)

   En una finca de caballos de Colmenar Viejo hay un bebedero con forma de tronco de pirámide cuadrangular regular, con la boca grande arriba. La boca mide 45 cm de lado, el fondo 36 cm y la profundidad es de 30 cm.

   a) Halla la altura de la pirámide completa (prolongando las paredes hacia abajo).

   b) Calcula el volumen del bebedero.

   c) ¿Caben en él 50 L de agua?

6. 6. (1,5 puntos)

   Un embalaje de cartón con forma de cono de 12 cm de radio y 18 cm de altura protege un bote cilíndrico de 6 cm de altura. El bote está apoyado en la base del cono y el borde de su tapa toca la superficie del cono.

   a) Dibuja un corte vertical por el eje y calcula el radio del bote usando la semejanza de triángulos.

   b) Calcula el volumen del bote y el del cono. Da los resultados exactos.

   c) ¿Qué volumen queda libre dentro del cono? ¿Qué fracción del cono ocupa el bote?

7. 7. (1,25 puntos)

   a) Una esfera de 41 cm de radio se corta con dos planos paralelos, del mismo lado del centro, situados a 9 cm y a 40 cm de él. Calcula el radio de cada sección y la distancia entre los dos planos. ¿Qué ocurriría con un plano paralelo situado a 41 cm del centro?

   b) Un barco está en un punto del ecuador de longitud $75^\circ$ O. ¿Cuál es su latitud? ¿Cuáles son las coordenadas de su antípoda? Cuando es mediodía solar en Greenwich, ¿qué hora solar es en el barco?