Examen 2

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,25 puntos)

   a) Un prisma y una pirámide tienen bases con el mismo número de lados. Entre los dos tienen 35 aristas. ¿Qué polígono es la base? ¿Cuántas caras y vértices tiene cada cuerpo?

   b) ¿Puede existir un poliedro regular con caras que sean decágonos regulares? Razónalo.

   c) ¿Qué poliedro regular es dual de sí mismo? ¿Por qué tiene sentido, mirando sus caras y sus vértices?

2. 2. (1,25 puntos)

   Un dado decorativo de una tienda de juegos tiene forma de rombicosidodecaedro: 20 caras triangulares, 30 cuadradas y 12 pentagonales; en cada vértice concurren 4 caras.

   a) ¿Cuántas caras tiene en total? Calcula sus aristas y sus vértices.

   b) Comprueba la fórmula de Euler.

   c) ¿Es un poliedro regular? ¿Por qué?

3. 3. (1,25 puntos)

   Un cristal de cuarzo idealizado tiene forma de prisma hexagonal regular con una pirámide hexagonal regular en cada extremo; las dos pirámides son iguales y sus bases coinciden con las del prisma.

   a) ¿Cuántos planos de simetría tiene? Descríbelos.

   b) Describe sus ejes de giro y su orden.

   c) Si quitamos una de las dos pirámides, ¿cuántos planos de simetría y qué ejes de giro le quedan?

4. 4. (1,75 puntos)

   Una escultura de piedra de una rotonda de Getafe tenía forma de pirámide cuadrangular regular de 18 dm de lado de la base y 12 dm de altura. Se corta por un plano paralelo a la base, a la mitad de la altura, y se quita la parte de arriba.

   a) Calcula la apotema de la pirámide original y su área total.

   b) El corte deja una base de arriba de 9 dm de lado. Calcula la apotema del tronco y su área total.

   c) ¿Por qué el área del tronco no es mucho menor que la de la pirámide, si se ha quitado un trozo?

5. 5. (1,75 puntos)

   Una tienda de bricolaje vende pintura en botes con forma de tronco de cono. Los radios de las bases miden 9 cm y 6 cm, y el bote contiene $570\pi\ \text{cm}^3$ de pintura.

   a) Usa la fórmula del volumen del tronco de cono para calcular la altura del bote.

   b) ¿Cuántos litros de pintura contiene? Redondea a centésimas.

   c) La tienda vende también botes cilíndricos de 2 L. ¿Cuántos mililitros más lleva el bote cilíndrico?

6. 6. (1,5 puntos)

   Un iglú tiene forma de semiesfera hueca: el radio interior mide 1,5 m y las paredes de nieve tienen 30 cm de grosor. Recuerda: $V_{\text{esfera}} = \dfrac{4}{3}\pi r^3$.

   a) ¿Cuántos metros cúbicos de aire hay dentro del iglú? Da el resultado exacto y redondeado a centésimas.

   b) ¿Qué radio exterior tiene el iglú? ¿Cuántos metros cúbicos de nieve forman sus paredes? Redondea a centésimas.

   c) ¿Hay más nieve o más aire?

7. 7. (1,25 puntos)

   a) Un melón casi esférico de 20 cm de diámetro se apoya sobre un frutero cuya boca es una circunferencia de 12 cm de diámetro. ¿A qué distancia del plano de la boca queda el centro del melón? ¿Cuánto se mete el melón por debajo de la boca?

   b) La Tierra se divide en 24 husos horarios teóricos de $15^\circ$. El huso de Greenwich (UTC+0) va de $7^\circ\,30'$ O a $7^\circ\,30'$ E. ¿Entre qué longitudes está el huso teórico UTC+3? ¿En qué huso teórico está Madrid ($3^\circ\,42'$ O)? ¿Por qué entonces la España peninsular usa UTC+1 en invierno?