Examen 1

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,25 puntos)

   a) ¿Verdadero o falso? Justifica cada respuesta.

   1. Una pirámide regular puede ser oblicua.
   2. Todo cubo es un ortoedro.
   3. Un prisma con 12 vértices tiene 18 aristas.

   b) Un poliedro regular tiene 30 aristas y sus caras son triángulos. ¿Cuál es? ¿Cuántas caras concurren en cada vértice?

   c) Se pegan 7 cubos iguales: uno en el centro y otro sobre cada una de sus 6 caras (forma de cruz en tres dimensiones). ¿Es un poliedro convexo? Razónalo.

2. 2. (1,25 puntos)

   Los cristales de granate (un mineral) tienen a menudo forma de dodecaedro rómbico: 12 caras iguales con forma de rombo. Tiene 14 vértices: en 6 de ellos concurren 4 caras y en los otros 8 concurren 3.

   a) Calcula el número de aristas de dos formas: a partir de los lados de las caras y con la fórmula de Euler.

   b) Comprueba que la suma de las caras que concurren en todos los vértices ($6 \cdot 4 + 8 \cdot 3$) es el doble del número de aristas. ¿Por qué ocurre?

   c) Todas sus caras son iguales. ¿Es un poliedro regular?

3. 3. (1,25 puntos)

   Una carpa para una feria tiene forma de pirámide recta de base rectangular, de 4 m × 6 m, con la cúspide justo encima del centro del rectángulo.

   a) ¿Cuántos planos de simetría tiene? Descríbelos.

   b) ¿Tiene ejes de giro? ¿De qué orden y con qué ángulo?

   c) ¿Cuántos planos de simetría y qué eje de giro tendría si la base fuera un cuadrado de 5 m de lado?

4. 4. (1,75 puntos)

   Un cono de señalización de tráfico es un tronco de cono hueco, sin bases: la boca de abajo mide 30 cm de diámetro, la de arriba 6 cm y la altura es de 35 cm.

   a) Calcula la generatriz.

   b) ¿Cuánto plástico lleva? Da el resultado exacto y redondeado a centésimas.

   c) ¿Cuántos conos completos se pueden fabricar con $50\ \text{m}^2$ de plástico?

5. 5. (1,75 puntos)

   En un huerto urbano de Madrid, el compost se hace en un contenedor con forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. La base de abajo mide 60 cm de lado, la de arriba 40 cm y la altura es de 45 cm.

   a) Calcula la altura de la pirámide completa de la que procede el tronco.

   b) Calcula el volumen del contenedor como diferencia de dos pirámides y comprueba con la fórmula del tronco.

   c) Exprésalo en metros cúbicos. Si el compost pesa unos 600 kg por metro cúbico, ¿cuánto pesa el contenedor lleno de compost, sin contar el propio contenedor?

6. 6. (1,5 puntos)

   Una plomada de albañil es una pieza de latón formada por una semiesfera de 1,5 cm de radio y un cono de 1,5 cm de radio y 6 cm de altura, pegados por sus bases (la punta del cono queda abajo). Recuerda: $V_{\text{esfera}} = \dfrac{4}{3}\pi r^3$.

   a) Calcula el volumen del cono. Da el resultado exacto.

   b) Calcula el volumen de la semiesfera y el volumen total de la plomada. Da los resultados exactos y el total redondeado a centésimas.

   c) El latón pesa unos 8,5 g por centímetro cúbico. ¿Cuánto pesa la plomada? Redondea a gramos.

7. 7. (1,25 puntos)

   a) Una esfera tiene 25 cm de radio. ¿A qué distancia del centro hay que cortarla para que la sección tenga 20 cm de radio? ¿Qué posición tiene respecto de la esfera un plano situado a 25 cm del centro? ¿Y otro a 30 cm?

   b) En un lugar, la hora solar va 3 h 20 min retrasada respecto a la de Greenwich. ¿Cuál es su longitud? ¿Y la de un lugar cuya hora solar vaya 3 h 20 min adelantada?