Examen 10

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,75 puntos)

   En la cuadrícula está dibujado el trapecio $ABCD$ de vértices $A(-7, -2)$, $B(-3, -2)$, $C(-4, 0)$ y $D(-6, 0)$.

   a) Trasládalo con el vector $\vec{u} = (8, 3)$: dibuja la imagen $A'B'C'D'$ y escribe las coordenadas de sus vértices.

   b) ¿Qué distancia se ha desplazado cada vértice? Redondea a las centésimas.

   c) ¿Qué vector llevaría $A'B'C'D'$ otra vez a $ABCD$?

   d) ¿Cómo son el lado $AB$ y el lado $A'B'$? Justifícalo.

2. 2. (2 puntos)

   El brazo de un robot de una fábrica gira alrededor de su base, que está en el origen $O(0, 0)$ (medidas en decímetros). Ahora, la pinza del extremo está en el punto $P(10, 0)$.

   a) ¿Dónde queda la pinza si el brazo gira $90^\circ$?

   b) Solo girando el brazo, ¿puede la pinza llegar desde $P$ al punto $(-6, 8)$? ¿Y al punto $(7, 7)$? Justifícalo.

   c) La pinza está en $(-6, 8)$ y tiene que ir a $(8, 6)$ girando alrededor de $O$. ¿Qué giro tiene que hacer?

   d) Expresa ese giro con un ángulo positivo.

3. 3. (1,75 puntos)

   En los relojes digitales las cifras se forman encendiendo algunos de 7 segmentos iguales. En la cuadrícula están dibujadas así las cifras 2, 3, 4, 5 y 8.

   a) Para cada cifra, indica si tiene eje de simetría vertical, eje de simetría horizontal y centro de simetría.

   b) El 2 no tiene eje de simetría vertical. ¿En qué cifra se convierte al aplicarle la simetría respecto de un eje vertical?

4. 4. (1,75 puntos)

   La figura $F''$ de la cuadrícula se ha obtenido a partir de $F$ aplicando dos simetrías de ejes verticales: primero la de eje $e_1$: $x = -3$ y después otra de eje $e_2$ desconocido. Los vértices de $F$ son $(-7, 0)$, $(-5, 0)$, $(-5, 2)$ y $(-6, 3)$, y los de $F''$, $(3, 0)$, $(5, 0)$, $(5, 2)$ y $(4, 3)$.

   a) ¿Qué traslación lleva $F$ a $F''$?

   b) Halla la ecuación del eje $e_2$. Explica tu razonamiento.

   c) Dibuja la figura intermedia $F'$ y escribe sus vértices.

5. 5. (1,5 puntos)

   Un suelo se ha diseñado con baldosas que son cuadrados, hexágonos regulares y dodecágonos regulares (12 lados), todos con el mismo lado.

   a) Calcula el ángulo interior de cada uno de los tres polígonos y comprueba que en un vértice pueden coincidir un cuadrado, un hexágono y un dodecágono.

   b) ¿Podrían coincidir en un vértice 2 dodecágonos y 1 cuadrado? Justifícalo.

   c) En otro suelo, alrededor de cada vértice hay 2 cuadrados y 1 hexágono regular. ¿Qué polígono regular falta para completar el vértice?

6. 6. (1,25 puntos)

   En GeoGebra creamos A = (1, 2), B = (4, 6), C = (4, 2), pol = Polígono(A, B, C) y la recta r: x = -1. Después escribimos Refleja(pol, r).

   a) ¿Qué coordenadas tendrán $A'$, $B'$ y $C'$?

   b) ¿Qué valores mostrarán Distancia(A, B) y Distancia(A', B')? Calcúlalos.

   c) Arrastramos el punto $A$ con el ratón. ¿Qué le pasa a $A'$? ¿Seguirá siendo Distancia(A', B') igual a Distancia(A, B)?