Examen 9

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1. 1. (1,75 puntos)

   Tenemos los puntos $A(-2, 1)$, $B(3, 2)$ y $C(1, -3)$.

   a) Calcula las componentes de $\overrightarrow{AB}$.

   b) Halla el punto $D$ tal que $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}$, es decir, la imagen de $C$ en la traslación de vector $\overrightarrow{AB}$.

   c) Calcula $\overrightarrow{AC}$ y $\overrightarrow{BD}$. ¿Qué observas? ¿Cuánto miden los segmentos $AC$ y $BD$?

   d) ¿Qué tipo de cuadrilátero es $ABDC$? Justifícalo.

2. 2. (2 puntos)

   Un tiovivo tiene 12 caballitos repartidos por igual alrededor del eje y gira en sentido contrario a las agujas del reloj (visto desde arriba). Delante de la taquilla, después del caballito 2 pasa el 3, después el 4, y así sucesivamente.

   a) ¿Qué ángulo forman, desde el eje, dos caballitos consecutivos?

   b) Ahora el caballito 2 está delante de la taquilla. ¿Qué ángulo tiene que girar el tiovivo para que llegue el caballito 9?

   c) El tiovivo da una vuelta cada 40 segundos. ¿Cuánto tarda en hacer el giro del apartado b)? Redondea a las décimas.

   d) Si el tiovivo pudiera girar en sentido contrario, ¿qué giro (con su signo) llevaría el caballito 9 a la taquilla con el menor ángulo?

3. 3. (1,75 puntos)

   Dibuja el simétrico del triángulo de vértices $A(-6, 1)$, $B(-3, 3)$ y $C(-4, -2)$ respecto del punto $M(-1, 0)$.

   a) Escribe las coordenadas de $A'$, $B'$ y $C'$.

   b) Comprueba que $M$ es el punto medio del segmento $BB'$.

   c) ¿Qué giro produce el mismo resultado?

   d) ¿Cómo son los lados $AB$ y $A'B'$?

4. 4. (1,75 puntos)

   Consideramos las rectas $e_1$: $y = x$ y $e_2$: $x = 0$ (el eje de ordenadas), que se cortan en el origen. La simetría de eje $y = x$ intercambia las coordenadas: $(x, y) \to (y, x)$.

   a) Aplica al punto $P(5, 2)$ la simetría de eje $e_1$ y, al resultado, la de eje $e_2$.

   b) ¿Qué ángulo forman $e_1$ y $e_2$? ¿A qué giro de centro el origen equivale la composición? Compruébalo girando $P$.

   c) Repite el apartado a) en el orden contrario: primero $e_2$ y después $e_1$. ¿Qué giro se obtiene ahora?

5. 5. (1,5 puntos)

   El friso de la cuadrícula está formado por trapecios isósceles iguales, con las dos bases en vertical, que se estrechan hacia la derecha. El primero tiene vértices $(-8, 0)$, $(-8, 4)$, $(-6, 3)$ y $(-6, 1)$.

   a) ¿Qué movimiento lleva cada trapecio al siguiente? Da su vector.

   b) Escribe los vértices del trapecio que iría después del último dibujado.

   c) Además de la traslación, ¿deja igual el friso alguna simetría de eje horizontal? ¿Y alguna de eje vertical? Justifícalo.

6. 6. (1,25 puntos)

   Sin ordenador: ¿qué punto dibujará GeoGebra en cada caso?

   a) Traslada(A, u), con A = (-2, 5) y u = (3, -5).

   b) Refleja(B, EjeY), con B = (6, -1).

   c) Rota(C, 90°, (0, 0)), con C = (3, 4).

   d) Refleja(D, M), con D = (3, -3) y M = (2, 0).

   e) En el apartado a), ¿por qué el vector se llama u y no U?