Examen 7

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,75 puntos)

   Una patinadora recorre Madrid Río. En un plano, cada unidad son 50 m. Sale del punto $A(0, 0)$, patina en línea recta hasta $B(8, 6)$ y desde allí, también en línea recta, hasta $C(13, -6)$.

   a) Escribe las componentes de los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{BC}$.

   b) ¿Qué vector la habría llevado de $A$ a $C$ en un solo tramo? Comprueba que es la suma de los dos anteriores.

   c) ¿Cuántos metros ha patinado? ¿A cuántos metros en línea recta está $C$ de $A$? Redondea al metro.

2. 2. (2 puntos)

   Gira $270^\circ$ el triángulo de vértices $A(-2, 2)$, $B(1, 2)$ y $C(-2, 4)$ alrededor del punto $Q(-3, 1)$.

   a) Dibuja el triángulo girado y escribe las coordenadas de $A'$, $B'$ y $C'$.

   b) Comprueba que $QB = QB'$.

   c) ¿Qué ángulo negativo da el mismo giro?

   d) ¿Qué giro con el mismo centro devuelve el triángulo a su posición inicial?

3. 3. (1,75 puntos)

   En la cuadrícula está el cuadrilátero $ABCD$ de vértices $A(-7, -2)$, $B(-3, -3)$, $C(-2, 1)$ y $D(-5, 3)$.

   a) Dibuja su simétrico respecto del eje de ordenadas ($x = 0$) y escribe las coordenadas de $A'$, $B'$, $C'$ y $D'$.

   b) ¿Qué posición tiene el segmento $AA'$ respecto del eje? ¿En qué punto lo corta?

   c) Recorre $ABCD$ y $A'B'C'D'$ siguiendo el orden de las letras. ¿Van en el mismo sentido? ¿Qué nombre recibe un movimiento que hace esto?

4. 4. (1,75 puntos)

   Al triángulo $F$ de vértices $(2, 1)$, $(5, 1)$ y $(5, 3)$ le aplicamos la simetría respecto del eje de ordenadas ($x = 0$) y, a la figura obtenida $F'$, la simetría respecto del eje de abscisas ($y = 0$).

   a) Dibuja $F'$ y $F''$ y escribe sus vértices.

   b) ¿Qué único movimiento lleva $F$ a $F''$?

   c) Explica el resultado con el ángulo que forman los dos ejes.

   d) ¿Es $F''$ una figura «dada la vuelta» respecto de $F$? ¿Por qué?

5. 5. (1,5 puntos)

   El mosaico de la cuadrícula está hecho con piezas en forma de L, todas iguales y sin girar. La pieza $T$ tiene vértices $(-5, -2)$, $(-3, -2)$, $(-3, -1)$, $(-4, -1)$, $(-4, 0)$ y $(-5, 0)$. Todas las piezas se obtienen trasladando $T$ con combinaciones de los vectores $\vec{u} = (3, 0)$ y $\vec{v} = (1, 1)$.

   a) ¿Qué área tiene cada pieza (en cuadros)? ¿Por qué todas tienen la misma?

   b) ¿Con qué vector se pasa de la pieza $T$ a la pieza $M$? Escríbelo como combinación de $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

   c) Escribe los vértices de la pieza que se obtiene trasladando $T$ con el vector $2\vec{u} - \vec{v}$.

6. 6. (1,25 puntos)

   Para construir en GeoGebra un cuadrado que siga siendo cuadrado aunque se arrastren sus vértices, escribimos:

   A = (1, 1)

   B = (4, 2)

   C = Rota(A, -90°, B)

   D = Rota(B, 90°, A)

   Polígono(A, B, C, D)

   a) Calcula las coordenadas de $C$ y de $D$.

   b) Comprueba que los cuatro lados miden lo mismo.

   c) ¿Por qué la figura sigue siendo un cuadrado al arrastrar $A$ o $B$?