Examen 5

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,75 puntos)

   La flecha $F'$ de la cuadrícula se ha obtenido trasladando la flecha $F$. La punta de $F$ está en $(-3, 0)$ y la de $F'$, en $(6, 2)$.

   a) ¿Cuál es el vector de la traslación? Compruébalo con otro vértice.

   b) ¿Cuántas unidades se ha desplazado cada punto? Redondea a las centésimas.

   c) El punto $P(3, 2)$ es un punto de $F'$. ¿De qué punto de $F$ procede?

   d) Con la misma traslación, ¿cuál es la imagen del punto $Q(-1, -3)$?

2. 2. (2 puntos)

   Con regla, compás y transportador, gira $-60^\circ$ alrededor del origen $O(0, 0)$ los puntos $A(0, 4)$ y $B(-3, 0)$ dibujados en la cuadrícula.

   a) Explica los pasos de la construcción para el punto $A$ y escribe las coordenadas aproximadas de $A'$.

   b) Escribe las coordenadas aproximadas de $B'$.

   c) ¿Qué giro de ángulo positivo es el mismo que este?

   d) Comprueba con el teorema de Pitágoras que $OA'$ mide aproximadamente lo mismo que $OA$.

3. 3. (1,75 puntos)

   Di si cada afirmación es verdadera o falsa y justifica tu respuesta.

   a) La simetría central de centro $O$ produce lo mismo que el giro de $180^\circ$ de centro $O$.

   b) En una simetría axial, todos los puntos del eje se quedan fijos.

   c) Un círculo tiene infinitos ejes de simetría y también centro de simetría.

   d) La simetría axial conserva la orientación de las figuras.

   e) El simétrico del punto $(4, -1)$ respecto del eje de abscisas es $(-4, -1)$.

4. 4. (1,75 puntos)

   Al cuadrilátero $F$ de vértices $(-7, -1)$, $(-5, -1)$, $(-5, 1)$ y $(-6, 3)$ le aplicamos la simetría de eje $e_1$: $x = -3$ y, a la figura obtenida $F'$, la simetría de eje $e_2$: $x = 1$.

   a) Dibuja $F'$ y $F''$ y escribe sus vértices.

   b) ¿Qué movimiento lleva $F$ directamente a $F''$?

   c) ¿Qué relación hay entre ese movimiento y la distancia entre los ejes?

   d) Si aplicamos las simetrías en el orden contrario (primero $e_2$ y después $e_1$), ¿qué movimiento se obtiene?

5. 5. (1,5 puntos)

   El borde de una alfombra está decorado con un friso cuyo motivo es una figura en forma de L. En la cuadrícula se ha dibujado parte del friso; el primer motivo tiene vértices $(-8, -3)$, $(-6, -3)$, $(-6, -2)$, $(-7, -2)$, $(-7, 0)$ y $(-8, 0)$.

   a) ¿Cuál es el vector del friso?

   b) ¿Deja igual el friso alguna simetría de eje vertical, la simetría de eje horizontal o algún giro de $180^\circ$? Justifícalo.

   c) En la alfombra real, el vector del friso mide 15 cm. ¿Cuántos motivos caben en un borde de 1,8 m?

6. 6. (1,25 puntos)

   En GeoGebra hemos creado A = (3, 1) y O = (0, 0) y hemos escrito Rota(A, α, O) con un ángulo $\alpha$ que no recordamos. En la vista algebraica aparece $A' = (-1, 3)$.

   a) ¿Cuál es el ángulo $\alpha$? Justifícalo.

   b) ¿Qué valores mostrarán Distancia(O, A) y Distancia(O, A')? Redondea a las centésimas.

   c) ¿Qué punto se obtendría con Rota(A, -α, O)?