Examen 3

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,75 puntos)

   En un almacén automático, los robots se mueven sobre una cuadrícula y su posición se da en casillas $(x, y)$. Un robot de carga empieza en la casilla $(15, 0)$ y cada minuto se traslada con el vector $\vec{v} = (-3, 2)$.

   a) Escribe la casilla en la que está después de 1, 2 y 3 minutos.

   b) ¿Qué vector equivale a los 3 primeros minutos de movimiento?

   c) ¿Pasará el robot por la casilla $(3, 8)$? ¿Y por la casilla $(0, 9)$? Justifícalo.

   d) ¿Cuántas casillas avanza en línea recta cada minuto? Redondea a las centésimas.

2. 2. (2 puntos)

   Gira $90^\circ$ el cuadrilátero de vértices $A(-3, -3)$, $B(0, -3)$, $C(0, -1)$ y $D(-2, 0)$ alrededor de su vértice $A$.

   a) Dibuja la figura girada y escribe las coordenadas de $A'$, $B'$, $C'$ y $D'$.

   b) ¿Qué punto del plano no se mueve con este giro?

   c) Si giráramos $180^\circ$ alrededor de $A$, ¿dónde quedaría el vértice $C$?

   d) ¿Cómo son el lado $AB$ y su imagen $A'B'$: paralelos o perpendiculares?

3. 3. (1,75 puntos)

   En el plano de un jardín (cada cuadro es 1 m), el paseo central está sobre la recta $x = 3$ y el jardín es simétrico respecto de ella. En un lado hay un parterre triangular de vértices $(-1, -2)$, $(2, -2)$ y $(2, 2)$.

   a) Dibuja el parterre del otro lado y escribe sus vértices.

   b) En el primer lado hay una fuente en el punto $(0, 3)$. ¿Dónde está la fuente del otro lado?

   c) Hay un banco en el punto $(3, -3)$. ¿Dónde está su simétrico?

   d) ¿Qué superficie tiene cada parterre? ¿Por qué es la misma?

4. 4. (1,75 puntos)

   En un videojuego de piezas que caen, cada vez que pulsas el botón de girar, la pieza gira $90^\circ$ en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor de un punto fijo de la pieza. Con las flechas, la pieza se traslada una casilla a la izquierda, vector $(-1, 0)$, y cada segundo baja una fila, vector $(0, -1)$.

   a) Pulsas el botón de girar 3 veces seguidas. ¿Qué giro equivale a las tres pulsaciones? Escríbelo también con un ángulo negativo.

   b) ¿Y si lo pulsas 6 veces seguidas?

   c) Durante 5 segundos pulsas 2 veces la flecha de la izquierda. ¿Qué traslación ha hecho la pieza en total?

   d) Para una pieza sin ningún tipo de simetría, ¿cuántas veces como mínimo hay que pulsar el botón de girar para que vuelva a quedar como al principio?

5. 5. (1,5 puntos)

   a) Calcula el ángulo interior del decágono regular (10 lados). ¿Se puede recubrir el plano solo con decágonos regulares iguales? Justifícalo.

   b) Comprueba que alrededor de un vértice pueden coincidir 3 triángulos equiláteros y 2 cuadrados.

   c) Un azulejero dice que puede rodear un vértice con 2 hexágonos regulares y 1 cuadrado, sin huecos. ¿Tiene razón?

6. 6. (1,25 puntos)

   En GeoGebra creamos P = (4, 1) y O = (0, 0) y escribimos:

   Secuencia(Rota(P, k*90°, O), k, 0, 3)

   a) ¿Cuántos puntos aparecen? Escribe sus coordenadas.

   b) Si unimos esos puntos en orden, ¿qué polígono se forma? ¿Por qué?

   c) Calcula la longitud de su lado.

   d) ¿Qué comando dibujaría los vértices de un hexágono regular con centro $O$ y un vértice en $P$?