Examen 2

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1. 1. (1,75 puntos)

   Al punto $P(-3, 2)$ le aplicamos, una detrás de otra, tres traslaciones de vectores $\vec{u} = (5, -1)$, $\vec{v} = (-2, -4)$ y $\vec{w} = (1, 6)$.

   a) Calcula la imagen de $P$ después de cada traslación.

   b) ¿Qué traslación hace lo mismo de una sola vez? Comprueba que lleva $P$ al mismo punto final.

   c) ¿Qué traslación habría que aplicar después para que $P$ volviera a su sitio?

   d) ¿Qué distancia hay entre $P$ y su posición final? Redondea a las centésimas.

2. 2. (2 puntos)

   La figura $F$ de la cuadrícula tiene forma de T. Sus vértices son $(2, 1)$, $(5, 1)$, $(5, 2)$, $(4, 2)$, $(4, 4)$, $(3, 4)$, $(3, 2)$ y $(2, 2)$.

   a) Gira $F$ un ángulo de $90^\circ$ alrededor del origen $O(0, 0)$. Dibuja la figura girada $F'$ y escribe las coordenadas de sus vértices.

   b) Si en lugar de eso giráramos $F$ un ángulo de $-90^\circ$ con el mismo centro, ¿adónde iría el vértice $(5, 1)$?

   c) ¿Qué giro de ángulo positivo produce lo mismo que el giro de $-90^\circ$?

   d) ¿Cómo queda el lado que une $(2, 1)$ y $(5, 1)$ respecto de su imagen en $F'$: paralelo o perpendicular?

3. 3. (1,75 puntos)

   a) Una simetría central lleva el punto $A(-3, 4)$ al punto $A'(5, -2)$. ¿Cuál es su centro?

   b) ¿Cuál es el simétrico de $B(4, 3)$ respecto de ese mismo centro?

   c) Una simetría axial de eje vertical lleva el punto $P(-5, 2)$ al punto $P'(3, 2)$. ¿Cuál es la ecuación del eje?

   d) ¿Puede una simetría de eje vertical llevar el punto $Q(1, 3)$ al punto $Q'(4, 1)$? Justifícalo.

4. 4. (1,75 puntos)

   a) Escribe el giro de $180^\circ$ de centro $C(2, 1)$ como composición de dos simetrías axiales. ¿Importa el orden en que se aplican? Comprueba tu respuesta con el punto $(5, -1)$.

   b) Escribe la traslación de vector $(0, -8)$ como composición de dos simetrías axiales e indica en qué orden hay que aplicarlas.

   c) ¿Se puede obtener una traslación con dos simetrías de ejes que se cortan? Justifícalo.

5. 5. (1,5 puntos)

   El timón de un velero es una rueda con 10 cabillas (los mangos por donde se agarra) iguales y repartidas por igual alrededor del centro.

   a) ¿Qué ángulo hay entre dos cabillas consecutivas? ¿Cuál es el giro más pequeño que deja el timón igual?

   b) El patrón gira el timón en el sentido de las agujas del reloj hasta que cada cabilla ocupa el lugar de la que estaba 3 puestos más allá. Escribe el ángulo del giro con su signo.

   c) ¿Tiene el timón centro de simetría? ¿Cuántos ejes de simetría tiene si cada cabilla es simétrica?

6. 6. (1,25 puntos)

   En la cuadrícula se ha dibujado con GeoGebra un friso de 4 copias de la cometa T, de vértices $(-7, -4)$, $(-6, -3)$, $(-7, -1)$ y $(-8, -3)$. El friso se ha hecho con el comando Secuencia.

   a) ¿Cuál es el vector $\vec{u}$ del friso?

   b) Escribe los comandos para crear el vector y el friso de 4 copias (contando T).

   c) ¿Qué comando dibujaría solo la última copia? ¿Cuáles son sus vértices?

   d) ¿Qué cambiarías para obtener 10 copias?