Examen 10

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1 puntos)

   Una sirena de aviso está en un punto $P$ situado a 5 km de una autovía recta. Su sonido se oye hasta 13 km de distancia.

   a) ¿Cuántos puntos de la autovía están exactamente a 13 km de la sirena? ¿Qué lugares geométricos has cortado?

   b) ¿Qué distancia hay entre esos puntos? (Es la longitud del tramo de autovía desde el que se oye la sirena.)

   c) Si la sirena solo se oyera hasta 4 km, ¿se oiría desde algún punto de la autovía? Justifícalo.

2. 2. (1 puntos)

   Dos circunferencias tienen diámetros de 10 cm y 6 cm.

   a) Indica su posición relativa si la distancia entre sus centros es: 8 cm; 1 cm; 2 cm; 6 cm.

   b) En el caso de 8 cm, ¿dónde está el punto de contacto? ¿A qué distancia está del centro de la circunferencia grande?

3. 3. (1,5 puntos)

   Un cartel rectangular tiene una diagonal de 17 dm y su largo mide 7 dm más que su ancho.

   a) Plantea una ecuación para calcular el ancho $x$.

   b) Resuélvela y calcula las dimensiones del cartel.

   c) Calcula su área.

4. 4. (1,25 puntos)

   Un baúl con forma de ortoedro mide por dentro 120 cm de largo, 90 cm de ancho y 80 cm de alto. Queremos guardar en él un palo de 1,6 m.

   a) ¿Cabe el palo tumbado en el fondo del baúl, en diagonal?

   b) ¿Cabe en la diagonal del baúl (de una esquina del fondo a la esquina opuesta de la tapa)?

5. 5. (1,25 puntos)

   En el triángulo isósceles $ABC$, $AB = AC = 26$ cm y $BC = 20$ cm. $M$ es el punto medio de $BC$.

   a) Demuestra que los triángulos $ABM$ y $ACM$ son iguales e indica el criterio.

   b) Deduce cuánto miden los ángulos $\widehat{AMB}$ y $\widehat{AMC}$.

   c) Calcula $AM$ y el área del triángulo $ABC$.

6. 6. (1,25 puntos)

   En el triángulo $ABC$, $AB = 12$ cm y $AC = 16$ cm.

   a) Se marcan $M$ en $AB$ con $AM = 3$ cm y $N$ en $AC$ con $AN = 4$ cm. ¿Es $MN$ paralelo a $BC$?

   b) Se marcan $P$ en $AB$ con $AP = 9$ cm y $Q$ en $AC$ con $AQ = 11{,}2$ cm. ¿Es $PQ$ paralelo a $BC$?

   c) ¿A qué distancia de $A$ habría que marcar $Q$, sin mover $P$, para que $PQ$ fuera paralelo a $BC$?

7. 7. (1,25 puntos)

   La planta de un local es el pentágono de vértices $(0, 0)$, $(8, 0)$, $(8, 4)$, $(5, 7)$ y $(0, 7)$, dibujado en la gráfica (cada cuadro, 1 m).

   a) Calcula su área. Explica qué estrategia usas (descomponer y sumar, o completar y restar).

   b) Calcula su perímetro (exacto y aproximado a las centésimas).

8. 8. (1,5 puntos)

   a) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 73 mm y uno de los catetos, 48 mm. Calcula el otro cateto y las razones trigonométricas del ángulo $\alpha$ opuesto al cateto de 48 mm.

   b) Laura ve un dron con un ángulo de elevación de $40^\circ$. El dron está justo encima de un punto del suelo situado a 60 m de ella y sus ojos están a 1,5 m del suelo. ¿A qué altura vuela el dron? ¿A qué distancia de los ojos de Laura está? Redondea a las centésimas.