Examen 9

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1. 1. (1 puntos)

   De una bandeja circular de cartón de 17,5 cm de radio se quiere recortar un triángulo rectángulo con sus tres vértices sobre el borde. Uno de los catetos mide 21 cm.

   a) La circunferencia de la bandeja es la circunscrita al triángulo. ¿Dónde está su centro respecto al triángulo? ¿Qué parte del triángulo pasa por el centro?

   b) ¿Cuánto mide la hipotenusa?

   c) Calcula el otro cateto.

   d) Calcula el área del triángulo.

2. 2. (1 puntos)

   En la gráfica está dibujada la circunferencia de centro $O(0, 0)$ y radio 5, los puntos $A(3, 4)$, $B(2, -3)$ y $C(-4, 4)$ y las rectas $r$: $x = 5$, $s$: $y = -3$ y $t$: $y = 6$.

   a) Calcula la distancia de cada punto al centro y di si es interior, exterior o está sobre la circunferencia (redondea a las centésimas).

   b) Indica la posición de cada recta respecto a la circunferencia.

   c) Halla los puntos de corte de la recta $s$ con la circunferencia.

3. 3. (1,5 puntos)

   Para las fiestas del barrio se tienden dos guirnaldas de luces, bien tensas, desde lo alto de un campanario, a 36 m del suelo, hasta dos farolas de la plaza situadas al mismo lado del campanario y alineadas con su pie: una a 15 m del pie y otra a 27 m (las guirnaldas se atan a la base de las farolas).

   a) Calcula la longitud de cada guirnalda.

   b) ¿Qué distancia hay entre las dos farolas?

   c) Si para atar cada guirnalda se necesita medio metro más en cada extremo, ¿cuántos metros de guirnalda hay que comprar en total?

4. 4. (1,25 puntos)

   a) Un cono de señalización de obras mide 48 cm de altura y su base tiene 40 cm de diámetro. ¿Cuánto mide su generatriz?

   b) Otro cono más pequeño tiene una generatriz de 26 cm y una base de 20 cm de diámetro. ¿Qué altura tiene?

5. 5. (1,25 puntos)

   El triángulo $ABC$ tiene $AB = 11$ cm, $BC = 7$ cm y $CA = 9$ cm. El triángulo $DEF$ tiene $DE = 9$ cm, $EF = 11$ cm y $FD = 7$ cm.

   a) ¿Son iguales? ¿Por qué criterio?

   b) Indica qué vértice de $DEF$ corresponde a cada vértice de $ABC$.

   c) Midiendo se obtiene $\hat{A} \approx 39^\circ$ y $\hat{C} \approx 86^\circ$. ¿Cuánto miden los ángulos de $DEF$?

6. 6. (1,25 puntos)

   Los lados de un triángulo miden 4 cm, 7 cm y 9 cm.

   a) Otro triángulo semejante tiene 50 cm de perímetro. Calcula la razón de semejanza y sus lados. (Pista: si cada lado se multiplica por $k$, el perímetro también.)

   b) ¿Es semejante al primero un triángulo de lados 8 cm, 14 cm y 20 cm? Justifícalo.

7. 7. (1,25 puntos)

   En un plano a escala 1:250, un jardín tiene forma de triángulo isósceles con base de 8 cm y lados iguales de 5 cm.

   a) Calcula la altura del triángulo en el plano y su área en el plano.

   b) Calcula las medidas reales de la base, los lados y la altura (en metros).

   c) Calcula el área real del jardín de dos formas: con las medidas reales y con la razón de las áreas.

8. 8. (1,5 puntos)

   a) Un triángulo rectángulo tiene catetos de 13 cm y 84 cm. Calcula la hipotenusa y las razones trigonométricas del ángulo $\alpha$ opuesto al cateto de 13 cm.

   b) La sección de una tienda de campaña es un triángulo isósceles. Cada lado de lona mide 2 m y forma un ángulo de $60^\circ$ con el suelo. Calcula la altura de la tienda (redondea a las centésimas) y la anchura que ocupa en el suelo.