Examen 8

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1 puntos)

   En el triángulo $ABC$, $\hat{A} = 80^\circ$ y $\hat{B} = 60^\circ$. Las bisectrices de $\hat{A}$ y de $\hat{B}$ se cortan en el punto $I$.

   a) ¿Cuánto miden los ángulos $\widehat{IAB}$ e $\widehat{IBA}$?

   b) Calcula el ángulo $\widehat{AIB}$.

   c) El punto $I$ está a 2,5 cm del lado $AB$. ¿A qué distancia está de los lados $BC$ y $CA$? Justifícalo.

   d) ¿Cómo se llama el punto $I$? ¿Qué circunferencia tiene centro en $I$ y cuál es su radio?

2. 2. (1 puntos)

   Una rueda de 35 cm de radio está apoyada sobre el suelo, que es una recta.

   a) ¿Qué posición tiene el suelo respecto a la circunferencia de la rueda? ¿A qué distancia está el centro del suelo?

   b) ¿Qué ángulo forma con el suelo el radio que va al punto de apoyo?

   c) La rueda se hunde en el barro hasta que su centro queda a 30 cm del nivel del suelo. ¿Qué posición tiene ahora el suelo respecto a la circunferencia?

   d) ¿Qué anchura tiene la huella de la rueda a nivel del suelo? Redondea a las centésimas.

3. 3. (1,5 puntos)

   La vela de un barco es un triángulo rectángulo. El lado pegado al mástil (un cateto) mide 12 m y el lado inclinado (la hipotenusa) mide 8 m más que el lado de abajo (el otro cateto).

   a) Llama $x$ al lado de abajo y plantea una ecuación.

   b) Calcula los tres lados de la vela.

   c) ¿Cuántos metros cuadrados de tela tiene la vela?

4. 4. (1,25 puntos)

   El tejado de un quiosco de música es una pirámide regular de base cuadrada de 9 m de lado y 6 m de altura.

   a) Calcula la apotema de la pirámide (la altura de cada cara triangular).

   b) Calcula la arista lateral. Redondea a las centésimas.

   c) ¿Cuántos metros cuadrados de tela hacen falta para cubrir las cuatro caras?

5. 5. (1,25 puntos)

   $ABCD$ es un cuadrado de 8 cm de lado. Se marca $E$ en el lado $AB$ con $AE = 3$ cm y $F$ en el lado $BC$ con $BF = 3$ cm. Se trazan los segmentos $DE$ y $AF$.

   a) Demuestra que los triángulos $DAE$ y $ABF$ son iguales e indica el criterio.

   b) ¿Qué segmento es igual a $DE$?

   c) Calcula $DE$. Redondea a las centésimas.

6. 6. (1,25 puntos)

   En el triángulo $ABC$, $AB = 15$ cm, $AC = 20$ cm y $BC = 18$ cm. Se marca $M$ en $AB$ con $AM = 6$ cm y $N$ en $AC$ con $AN = 8$ cm.

   a) ¿Es el segmento $MN$ paralelo a $BC$? Justifícalo.

   b) ¿Son semejantes los triángulos $AMN$ y $ABC$? ¿Cuál es la razón de semejanza de $AMN$ respecto de $ABC$?

   c) Calcula la longitud de $MN$.

7. 7. (1,25 puntos)

   Se tiene un cuadrado de 6 cm de lado.

   a) Se dibuja dentro la circunferencia inscrita (toca los cuatro lados). Calcula el área de las cuatro esquinas que quedan entre el cuadrado y el círculo.

   b) Ahora se dibuja la circunferencia circunscrita (pasa por los cuatro vértices). Calcula su radio y el área de la parte del círculo que queda fuera del cuadrado.

   Da los resultados exactos y aproximados a las centésimas.

8. 8. (1,5 puntos)

   a) Un triángulo rectángulo tiene catetos de 65 mm y 72 mm. Calcula la hipotenusa y las razones trigonométricas del ángulo $\alpha$ opuesto al cateto de 65 mm.

   b) La diagonal de un panel solar rectangular mide 20 dm y forma un ángulo de $30^\circ$ con el lado de la base. Calcula la base, la altura y el área del panel. Redondea a las centésimas.