Examen 7

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1 puntos)

   Los dos accesos de un parque, $A$ y $B$, están separados 1 km en línea recta. Se quiere instalar una fuente que esté a la misma distancia de los dos accesos y a 1,3 km de $A$.

   a) ¿Sobre qué dos lugares geométricos tiene que estar la fuente? ¿Cuántas posiciones posibles hay?

   b) ¿A qué distancia del punto medio $M$ de $AB$ queda cada posición?

   c) ¿Cuál es la menor distancia a $A$ que se podría pedir para que exista alguna posición? ¿Cuántas habría entonces?

2. 2. (1 puntos)

   Una circunferencia tiene 13 cm de diámetro.

   a) Indica la posición respecto a la circunferencia de los puntos que están a 6 cm, 6,5 cm y 7 cm del centro.

   b) Indica la posición de las rectas que están a 7 cm, 6,5 cm y 3 cm del centro y cuántos puntos tiene cada una en común con la circunferencia.

   c) ¿Qué radio tendría que tener otra circunferencia con el mismo centro para que la recta que está a 3 cm fuera tangente?

3. 3. (1,5 puntos)

   Una cinta tensa sale de un punto $P$ y toca un tambor circular de centro $O$ y 20 cm de radio en el punto $T$, de forma que $PT$ es tangente al tambor. El punto $P$ está a 52 cm de $O$.

   a) Calcula la longitud $PT$.

   b) Desde $P$ se puede trazar otra tangente, que toca el tambor en $T'$. ¿Cuánto mide $PT'$? ¿Por qué?

   c) Calcula el área del cuadrilátero $OTPT'$.

4. 4. (1,25 puntos)

   La caja de carga de un camión de mudanzas es un ortoedro de 6 m de largo, 2,4 m de ancho y 2,5 m de alto. Hay que transportar un tubo rígido de 6,5 m.

   a) ¿Cabe el tubo tumbado en el suelo de la caja, en diagonal? Redondea a las centésimas.

   b) ¿Cabe colocado en la diagonal de la caja?

5. 5. (1,25 puntos)

   En la cuadrícula están dibujados los triángulos $ABC$, con $A(1, 1)$, $B(6, 1)$ y $C(3, 4)$, y $PQR$, con $P(9, 2)$, $Q(9, 7)$ y $R(12, 5)$.

   a) Calcula la longitud de los lados de los dos triángulos (puedes dejar las raíces indicadas).

   b) ¿Son iguales? ¿Por qué criterio?

   c) Indica la correspondencia de vértices.

6. 6. (1,25 puntos)

   Tres rectas paralelas cortan a dos secantes. En una determinan $AB = x$ y $BC = 12$ cm; en la otra, $A'B' = 3$ cm y $B'C' = x + 5$ (en cm).

   a) Plantea la proporción y obtén la ecuación.

   b) Resuélvela y razona qué solución vale.

   c) Calcula $AB$ y $B'C'$.

7. 7. (1,25 puntos)

   Un foco de un escenario ilumina en el suelo un sector circular de $50^\circ$ y 18 m de radio.

   a) Calcula el área iluminada (exacta, en función de $\pi$, y aproximada a las centésimas).

   b) Calcula la longitud del borde curvo de la zona iluminada.

   c) Calcula el perímetro de la zona iluminada.

8. 8. (1,5 puntos)

   a) ¿Puede un ángulo agudo tener $\cos\alpha = 1{,}3$? ¿Y $\text{tg}\,\alpha = 3$? Razónalo. Si $\cos\alpha = \dfrac{5}{13}$, calcula $\text{sen}\,\alpha$ y $\text{tg}\,\alpha$.

   b) Resuelve el triángulo $ABC$, rectángulo en $A$, con el cateto $c = 8$ cm y $\widehat{B} = 55^\circ$. Redondea a las centésimas.