Examen 6

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1 puntos)

   Una terraza tiene forma de rectángulo. En una de sus esquinas, las dos barandillas forman un ángulo recto. Se quiere colocar una maceta grande a la misma distancia de las dos barandillas, a 1,2 m de cada una.

   a) ¿Sobre qué línea tiene que estar la maceta?

   b) ¿Qué ángulo forma esa línea con cada barandilla?

   c) ¿A qué distancia de la esquina queda la maceta? Da el valor exacto y aproximado a las centésimas.

2. 2. (1 puntos)

   En una biblioteca hay dos routers wifi. Uno cubre un círculo de 40 m de radio y el otro, de 25 m. Los routers están a 50 m uno del otro.

   a) ¿Qué posición relativa tienen los bordes de las dos zonas de cobertura? ¿Hay alguna zona con cobertura de los dos?

   b) ¿A qué distancia habría que poner los routers para que las zonas solo se tocaran en un punto, una fuera de la otra?

   c) Si se acercan hasta estar a 15 m, ¿qué posición tienen?

   d) ¿Y si se acercan hasta estar a 10 m?

3. 3. (1,5 puntos)

   De una lámina circular de metal de 26 cm de diámetro se recorta una pieza rectangular con sus cuatro vértices sobre el borde. Uno de los lados del rectángulo mide 10 cm.

   a) ¿Cuánto mide la diagonal del rectángulo? ¿Por qué?

   b) Calcula el otro lado, el perímetro y el área del rectángulo.

   c) ¿Cuánto metal sobra? Redondea a las centésimas.

4. 4. (1,25 puntos)

   Un gorro de cumpleaños tiene forma de cono. Su generatriz mide 20 cm y su altura, 16 cm.

   a) Calcula el radio de la base.

   b) Calcula la longitud del borde del gorro (la circunferencia de la base). Redondea a las centésimas.

   c) ¿Le cabe a un niño cuya cabeza mide 56 cm de contorno?

5. 5. (1,25 puntos)

   Indica en cada caso si los triángulos $ABC$ y $DEF$ son iguales y, si lo son, por qué criterio:

   a) $AC = DF = 11$ cm, $\hat{C} = \hat{F} = 28^\circ$, $CB = FE = 7$ cm.

   b) $\hat{A} = \hat{D} = 40^\circ$, $AB = DE = 6$ cm, $\hat{B} = \hat{E} = 100^\circ$.

   c) $AB = DE = 5$ cm, $AC = DF = 7$ cm, $\hat{B} = \hat{E} = 45^\circ$.

   d) $AB = DE = 9$ cm, $BC = EF = 12$ cm, $CA = FD = 15$ cm.

   e) $\hat{A} = \hat{D} = 65^\circ$, $\hat{B} = \hat{E} = 85^\circ$, $BC = EF = 4{,}5$ cm.

6. 6. (1,25 puntos)

   El triángulo $ABC$ tiene $AB = 8$ cm, $AC = 12$ cm y $\hat{A} = 55^\circ$. El triángulo $DEF$ tiene $DE = 10$ cm, $DF = 15$ cm y $\hat{D} = 55^\circ$.

   a) ¿Son semejantes? ¿Por qué criterio?

   b) Calcula la razón de semejanza de $DEF$ respecto de $ABC$.

   c) Si $BC = 10$ cm, ¿cuánto mide $EF$?

   d) ¿Qué ángulo de $DEF$ es igual a $\hat{B}$?

7. 7. (1,25 puntos)

   El personaje de un videojuego es un círculo de 5 cm de radio al que le falta un sector de $60^\circ$ (la boca).

   a) Calcula el área del personaje (exacta y aproximada a las centésimas).

   b) Calcula su perímetro, incluidos los dos radios de la boca.

8. 8. (1,5 puntos)

   a) En un triángulo $ABC$ rectángulo en $A$, los catetos miden $b = 2{,}4$ cm y $c = 4{,}5$ cm. Calcula la hipotenusa y las razones trigonométricas de $\widehat{B}$.

   b) Una fotógrafa, tumbada en el suelo, ve lo alto de una torre de 30 m con un ángulo de elevación de $50^\circ$ (sus ojos están prácticamente a ras de suelo). ¿A qué distancia del pie de la torre está? Redondea a las centésimas.