Examen 5

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1 puntos)

   Describe el lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen cada condición:

   a) Están a 3 cm de un punto $P$.

   b) Están a 3,5 cm de una recta $t$.

   c) Están dentro de un ángulo de $70^\circ$ y a la misma distancia de sus dos lados.

   d) Están a 4 cm de $A$ y también a 4 cm de $B$, siendo $AB = 10$ cm. (Justifica la respuesta.)

2. 2. (1 puntos)

   El radar de un aeródromo detecta aviones hasta 60 km de distancia (supón que todo ocurre en un plano).

   a) Tres avionetas están a 45 km, 60 km y 72 km del radar. ¿Cuáles detecta?

   b) Dos rutas aéreas rectas pasan a 50 km y a 75 km del radar. ¿Cuáles atraviesan la zona de detección?

   c) ¿Qué longitud tiene el tramo de la ruta que pasa a 50 km que queda dentro de la zona? Redondea a las centésimas.

3. 3. (1,5 puntos)

   El patio de un colegio es un rectángulo $ABCD$ con $AB = 24$ m y $BC = 10$ m. $N$ es el punto medio del lado $CD$ (el lado opuesto a $AB$).

   a) Lucía va de la esquina $A$ a la esquina opuesta $C$ en línea recta. ¿Cuántos metros recorre?

   b) ¿Cuántos metros se ahorra respecto a ir de $A$ a $C$ pasando por $B$?

   c) Pablo va de $A$ a $N$ en línea recta. ¿Cuántos metros recorre? Redondea a las centésimas.

   d) ¿Qué tipo de triángulo es $ANB$ según sus lados? Justifícalo.

4. 4. (1,25 puntos)

   Una pecera con forma de ortoedro tiene una base de 40 cm × 30 cm. Una varilla de 65 cm cabe justo dentro, en la diagonal de la pecera (de una esquina del fondo a la esquina opuesta de arriba).

   a) Calcula la diagonal de la base.

   b) ¿Qué altura tiene la pecera? Redondea a las centésimas.

5. 5. (1,25 puntos)

   En una finca hay dos postes, $A$ y $B$, separados por una nave que impide medir la distancia entre ellos en línea recta. Desde un punto $C$ se puede llegar andando a los dos: $CA = 40$ m y $CB = 55$ m. Se prolonga el segmento $AC$ más allá de $C$ y se marca $D$ con $CD = 40$ m; se prolonga $BC$ y se marca $E$ con $CE = 55$ m. Se mide $DE = 73$ m.

   a) ¿Qué dos triángulos son iguales? Escribe las tres igualdades que lo justifican y el criterio.

   b) ¿Cuánto mide $AB$? ¿Por qué?

6. 6. (1,25 puntos)

   En el plano de un barrio, tres calles paralelas cortan a dos avenidas rectas que no son paralelas. Por la primera avenida, el tramo entre la primera y la segunda calle mide 150 m, y el tramo entre la segunda y la tercera, 210 m. Por la segunda avenida, la distancia de la primera calle a la tercera es de 432 m.

   a) Plantea el teorema de Tales.

   b) ¿Cuánto mide cada tramo por la segunda avenida?

7. 7. (1,25 puntos)

   Un logotipo es un triángulo equilátero de 6 cm de lado. Con centro en cada vértice se dibuja un sector circular de 3 cm de radio cuyo ángulo es el del triángulo ($60^\circ$). Los tres sectores se pintan de azul y el resto del triángulo queda en blanco.

   a) Calcula la altura y el área del triángulo (exactas y aproximadas a las centésimas).

   b) Calcula el área azul (los tres sectores juntos).

   c) Calcula el área blanca y el perímetro de la zona blanca.

8. 8. (1,5 puntos)

   a) Sabemos que $\alpha$ es un ángulo agudo con $\text{sen}\,\alpha = 0{,}28$. Dibuja un triángulo rectángulo con hipotenusa 25 que tenga ese ángulo y calcula $\cos\alpha$ y $\text{tg}\,\alpha$.

   b) El brazo recto de una grúa pequeña mide 4 m, está articulado en el suelo y forma un ángulo de $65^\circ$ con el suelo. ¿A qué altura está su extremo? ¿A qué distancia horizontal de la articulación? Redondea a las centésimas.