Examen 4

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1. 1. (1 puntos)

   El segmento $AB$ mide 14 cm y $M$ es su punto medio.

   a) Un punto $P$ de la mediatriz de $AB$ está a 24 cm de $M$. Calcula $PA$ y $PB$.

   b) Un punto $Q$ está a 30 cm de $A$ y a 30 cm de $B$. ¿Está en la mediatriz de $AB$? ¿A qué distancia está de $M$? Redondea a las centésimas.

2. 2. (1 puntos)

   Desde un punto $P$ exterior a una circunferencia de centro $O$ y 15 cm de radio se traza una recta tangente que la toca en $T$. El segmento de tangente mide $PT = 20$ cm.

   a) ¿Cuánto mide el ángulo $\widehat{OTP}$?

   b) ¿A qué distancia está $P$ del centro?

   c) ¿Cuál es la distancia más corta desde $P$ hasta la circunferencia?

3. 3. (1,5 puntos)

   En una carpintería quieren sacar de un tronco de 40 cm de diámetro una viga de sección cuadrada lo más grande posible: los cuatro vértices del cuadrado quedan sobre la circunferencia del tronco.

   a) ¿Qué relación hay entre la diagonal del cuadrado y el tronco? Calcula el lado del cuadrado (exacto y aproximado a las centésimas).

   b) ¿Cuántos cm² de la sección del tronco se desperdician? Redondea a las centésimas.

   c) ¿Qué porcentaje de la sección es eso?

4. 4. (1,25 puntos)

   Una caja de bombones tiene forma de pirámide regular de base cuadrada. El lado de la base mide 8 cm y la apotema de la pirámide (la altura de cada cara) mide 5 cm.

   a) ¿Qué altura tiene la caja?

   b) ¿Cuánto mide cada arista lateral? Redondea a las centésimas.

5. 5. (1,25 puntos)

   El triángulo $ABC$ tiene $\hat{A} = 45^\circ$, $\hat{B} = 75^\circ$ y $AB = 10$ cm. El triángulo $DEF$ tiene $\hat{D} = 75^\circ$, $\hat{F} = 45^\circ$ y $DF = 10$ cm.

   a) ¿Son iguales? ¿Por qué criterio? (Fíjate en qué ángulos están junto al lado de 10 cm.)

   b) Indica la correspondencia de vértices.

   c) ¿Cuánto mide $\hat{E}$?

   d) Se mide $BC = 8{,}2$ cm. ¿Qué lado de $DEF$ mide también 8,2 cm?

6. 6. (1,25 puntos)

   Tres rectas paralelas cortan a dos rectas secantes $r$ y $s$. En $r$ determinan los segmentos $AB = x$ y $BC = x + 4$ (en cm), y en $s$, los segmentos $A'B' = 6$ cm y $B'C' = 9$ cm.

   a) Escribe la proporción del teorema de Tales.

   b) Calcula $x$ y las longitudes de $AB$ y $BC$.

   c) Comprueba el resultado con las razones.

7. 7. (1,25 puntos)

   El suelo de un dormitorio abuhardillado tiene forma de trapecio rectángulo: las bases (paralelas) miden 5 m y 3,5 m y el lado oblicuo mide 2,5 m.

   a) Calcula la altura del trapecio (la distancia entre las bases).

   b) Calcula el área del suelo.

   c) La tarima se vende en cajas que cubren 1,8 m² y cuestan 32 € cada una. ¿Cuántas cajas hay que comprar y cuánto cuestan?

8. 8. (1,5 puntos)

   a) En la cuadrícula está dibujado el triángulo de vértices $O(0, 0)$, $P(12, 0)$ y $Q(12, 5)$, rectángulo en $P$. Calcula las razones trigonométricas del ángulo $\alpha$ que tiene en $O$.

   b) Desde un punto situado a 25 m del pie de un árbol, Marcos ve la copa con un ángulo de elevación de $35^\circ$. Sus ojos están a 1,5 m del suelo. ¿Qué altura tiene el árbol? Redondea a las centésimas.