Examen 3

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1 puntos)

   En un plano con cuadrícula, cada cuadro representa 100 m. Tres amigos viven en $A(2, 1)$, $B(10, 1)$ y $C(2, 7)$ y quieren quedar en un punto que esté a la misma distancia de las tres casas.

   a) ¿Qué punto del triángulo $ABC$ buscan? ¿Con qué líneas se obtiene?

   b) Explica por qué, en este triángulo, ese punto es el punto medio de $BC$.

   c) Halla sus coordenadas.

   d) ¿A qué distancia (en metros) queda de cada casa?

2. 2. (1 puntos)

   Una pista de patinaje circular tiene 30 m de radio y centro $O$. Desde un punto $P$, situado a 50 m de $O$, sale una calle recta que es tangente a la pista en el punto $T$.

   a) ¿Qué ángulo forman el radio $OT$ y la calle? ¿Por qué?

   b) ¿Qué distancia hay desde $P$ hasta el punto de tangencia $T$?

   c) Desde $P$ sale otra calle recta que pasa a 20 m de $O$. ¿Qué posición tiene respecto a la pista?

3. 3. (1,5 puntos)

   En una circunferencia de centro $O$ y 13 cm de radio se traza una cuerda $AB$ de 24 cm.

   a) ¿A qué distancia está la cuerda del centro?

   b) Calcula el área del triángulo $OAB$.

   c) Otra cuerda $CD$ de la misma circunferencia está a 12 cm del centro. ¿Cuánto mide?

4. 4. (1,25 puntos)

   Una pirámide regular de base hexagonal tiene 4 cm de lado de la base y 6 cm de altura. (Recuerda: en un hexágono regular, el radio es igual al lado.)

   a) Calcula la apotema de la base.

   b) Calcula la apotema de la pirámide.

   c) Calcula la arista lateral.

   Da los resultados exactos y aproximados a las centésimas.

5. 5. (1,25 puntos)

   Las diagonales del cuadrado $ABCD$, de 6 cm de lado, se cortan en el punto $O$.

   a) Explica por qué $\widehat{OAB} = \widehat{OBA} = 45^\circ$. (Pista: el triángulo $ABC$ es rectángulo e isósceles.)

   b) Demuestra que los cuatro triángulos $AOB$, $BOC$, $COD$ y $DOA$ son iguales e indica el criterio.

   c) ¿Cuánto mide cada ángulo con vértice en $O$?

   d) Calcula el área de cada uno de los cuatro triángulos.

6. 6. (1,25 puntos)

   Un triángulo $T$ tiene lados de 6 cm, 8 cm y 9 cm.

   a) ¿Es semejante a $T$ un triángulo de lados 9 cm, 12 cm y 13,5 cm? Si lo es, da el criterio y la razón de semejanza.

   b) ¿Y uno de lados 12 cm, 16 cm y 17 cm?

   c) Calcula el perímetro de $T$ y el del triángulo del apartado a). ¿Qué relación hay entre ellos?

7. 7. (1,25 puntos)

   Una puerta de 0,9 m de ancho gira sobre sus bisagras y se abre $110^\circ$.

   a) ¿Qué superficie del suelo barre la puerta? Redondea a las centésimas.

   b) El pomo está a 0,8 m de las bisagras. ¿Qué distancia recorre el pomo al abrir la puerta? Redondea a las centésimas.

8. 8. (1,5 puntos)

   a) En un triángulo $ABC$ rectángulo en $A$, los catetos miden $b = 16$ cm y $c = 12$ cm. Calcula la hipotenusa y las razones trigonométricas de $\widehat{B}$.

   b) Resuelve el triángulo $ABC$, rectángulo en $A$, en el que la hipotenusa mide $a = 18$ cm y $\widehat{B} = 40^\circ$. Redondea a las centésimas.