Examen 2

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1. 1. (1 puntos)

   Una carretera recta $r$ pasa junto a una gasolinera, que consideramos un punto $G$ de la propia recta $r$. Se quieren colocar carteles que estén a 6 m de la carretera y a 10 m de la gasolinera.

   a) ¿Qué lugar geométrico forman los puntos que están a 6 m de la carretera?

   b) ¿Y los que están a 10 m de la gasolinera?

   c) ¿Cuántas posiciones posibles hay para los carteles?

   d) Para cada cartel, ¿a qué distancia de $G$, medida a lo largo de la carretera, está el pie de la perpendicular desde el cartel?

2. 2. (1 puntos)

   En un mecanismo hay dos poleas circulares de 7 cm y 3 cm de radio, en el mismo plano.

   a) ¿A qué distancia deben estar sus centros para que sean tangentes exteriores?

   b) ¿Y para que sean tangentes interiores?

   c) ¿Entre qué valores debe estar la distancia entre centros para que sus bordes se corten en dos puntos?

   d) Si los centros están a 12 cm, ¿qué posición tienen?

3. 3. (1,5 puntos)

   a) Calcula la altura y el área de un triángulo equilátero de 8 cm de lado. Da los resultados exactos y aproximados a las centésimas.

   b) La altura de otro triángulo equilátero mide 9 cm. ¿Cuánto mide su lado? (Llama $l$ al lado y plantea Pitágoras.) Da el resultado exacto y aproximado.

4. 4. (1,25 puntos)

   a) Un cubo tiene 6 cm de arista. Calcula la diagonal de una cara y la diagonal del cubo, exactas y aproximadas a las centésimas.

   b) En otro cubo, la diagonal de una cara mide 10 cm. Calcula su arista y la diagonal del cubo, exactas y aproximadas a las centésimas.

5. 5. (1,25 puntos)

   En el triángulo $ABC$, la altura $AH$ (perpendicular a $BC$, con $H$ en $BC$) es también la bisectriz del ángulo $\hat{A}$.

   a) Demuestra que los triángulos $ABH$ y $ACH$ son iguales e indica el criterio.

   b) ¿Qué tipo de triángulo es $ABC$? ¿Qué relación hay entre $BH$ y $HC$?

   c) Si $BH = 8$ cm y $AB = 17$ cm, calcula $BC$, $AH$ y el área de $ABC$.

6. 6. (1,25 puntos)

   Decide si cada par de triángulos es semejante. Si lo es, indica el criterio:

   a) Uno tiene ángulos de $35^\circ$ y $80^\circ$; el otro, de $65^\circ$ y $80^\circ$.

   b) $AB = 4$ cm, $AC = 6$ cm, $\hat{A} = 50^\circ$; $DE = 6$ cm, $DF = 9$ cm, $\hat{D} = 50^\circ$.

   c) Dos triángulos rectángulos: uno con catetos de 3 cm y 4 cm, otro con catetos de 6 cm y 9 cm.

   d) Dos triángulos equiláteros cualesquiera.

7. 7. (1,25 puntos)

   Un banderín tiene forma de triángulo isósceles de 24 cm de base y 36 cm de altura. Se cose una cinta paralela a la base, a 12 cm del vértice de arriba (medidos sobre la altura), que lo divide en un triángulo pequeño arriba y un trapecio abajo.

   a) ¿Qué razón de semejanza hay entre el triángulo pequeño y el banderín entero? ¿Cuánto mide la cinta?

   b) Calcula el área del triángulo pequeño y la del trapecio.

8. 8. (1,5 puntos)

   a) Un triángulo rectángulo tiene catetos de 39 cm y 80 cm. Calcula la hipotenusa y las razones trigonométricas del ángulo $\alpha$ opuesto al cateto de 39 cm.

   b) Un globo aerostático está sujeto al suelo por una cuerda tensa de 50 m que forma un ángulo de $64^\circ$ con el suelo. ¿A qué altura está el globo? ¿A qué distancia horizontal del punto de anclaje está el punto del suelo que queda justo debajo del globo? Redondea a las centésimas.