Examen 1

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1 puntos)

   En un plano con cuadrícula (cada cuadro, 100 m), dos polideportivos están en $A(1, 2)$ y $B(7, 6)$. Se estudian tres sitios para poner una estación de BiciMAD: $P(4, 4)$, $Q(2, 7)$ y $R(5, 6)$.

   a) Calcula, en cuadros, la distancia de cada sitio a $A$ y a $B$ (puedes dejar las raíces sin calcular).

   b) ¿Qué sitios están en la mediatriz del segmento $AB$? ¿Por qué?

   c) ¿A cuántos metros de cada polideportivo quedaría la estación si se pone en $Q$? Redondea a los metros.

2. 2. (1 puntos)

   Dos circunferencias tienen radios de 8 cm y 5 cm. Indica su posición relativa si la distancia entre sus centros es:

   a) 15 cm b) 13 cm c) 9 cm d) 3 cm e) 2 cm f) 0 cm

3. 3. (1,5 puntos)

   Un triángulo isósceles tiene 36 cm de perímetro y su lado desigual (la base) mide 10 cm.

   a) ¿Cuánto mide cada uno de los lados iguales?

   b) Calcula la altura sobre la base y el área.

   c) Calcula la altura que cae sobre uno de los lados iguales. Redondea a las centésimas. (Pista: usa el área.)

4. 4. (1,25 puntos)

   Una pirámide regular de base cuadrada tiene 14 cm de lado de la base y sus aristas laterales miden 25 cm.

   a) Calcula la apotema de la pirámide.

   b) Calcula la altura de la pirámide. Redondea a las centésimas.

5. 5. (1,25 puntos)

   Las dos patas de una mesa plegable de camping forman una X: son los segmentos $AB$ y $CD$, que se cortan en su punto medio común $M$ ($A$ y $C$ arriba, $B$ y $D$ en el suelo). Cada pata mide 1,2 m. Los extremos de arriba, $A$ y $C$, están a 70 cm uno del otro, y al medir se obtiene $\widehat{MAC} \approx 54^\circ$.

   a) Demuestra que los triángulos $AMC$ y $BMD$ son iguales e indica el criterio.

   b) ¿A qué distancia quedan los pies $B$ y $D$?

   c) ¿Cuánto mide $\widehat{MBD}$?

   d) ¿Cuánto miden $AM$ y $MD$?

6. 6. (1,25 puntos)

   Dos tejadillos tienen la misma inclinación. La sección del pequeño es un triángulo rectángulo de catetos 5 dm y 12 dm. La del grande es otro triángulo rectángulo con un ángulo agudo igual y una hipotenusa de 32,5 dm.

   a) Calcula la hipotenusa del pequeño.

   b) ¿Son semejantes los dos triángulos? ¿Por qué criterio?

   c) Calcula la razón de semejanza y los catetos del grande.

7. 7. (1,25 puntos)

   Una terraza tiene forma de hexágono regular de 3 m de lado.

   a) Calcula la apotema (exacta y aproximada a las milésimas). Recuerda que en un hexágono regular el radio es igual al lado.

   b) Calcula el área de la terraza, redondeando a las centésimas.

   c) Las baldosas se venden en cajas que cubren 1,5 m² a 27 € la caja. Sin contar recortes, ¿cuántas cajas hacen falta y cuánto cuestan?

8. 8. (1,5 puntos)

   a) Un tramo recto de la vía de un tren de cremallera sube 60 m mientras avanza 750 m en horizontal. Calcula la longitud del tramo (redondea a las centésimas), las razones trigonométricas de su ángulo de inclinación $\alpha$ y su pendiente en porcentaje.

   b) Otro tramo recto de la vía mide 500 m y forma un ángulo de $6^\circ$ con la horizontal. ¿Cuánto sube? ¿Cuánto avanza en horizontal? Redondea a las centésimas.